Standardabweichung und Varianz berechnen: Formel, Beispiel, Deutung

Fachlich verantwortet von Prof. Dr. Alexander Holtermann · Stand 16.10.2026 · 5 Min. Lesezeit

Die Varianz ist die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert, die Standardabweichung ihre Wurzel. In Stichproben teilst Du durch n − 1.

Das Wichtigste in Kürze

Die Standardabweichung (SD) gibt an, wie weit die Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen, und hat dieselbe Einheit wie die Daten.
Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Rechnerisch ist die Varianz wichtig, aber schwer zu deuten, weil ihre Einheit quadriert ist.
Für eine Stichprobe teilst Du die Summe der quadrierten Abweichungen durch n − 1, nicht durch n. Nur so schätzt Du die Streuung der Grundgesamtheit unverzerrt.
Bei annähernd normalverteilten Daten liegen rund 68 % der Werte im Bereich Mittelwert ± 1 SD und rund 95 % im Bereich ± 2 SD.
Berichte zum Mittelwert immer die Standardabweichung, etwa M = 5,00, SD = 2,19.

Was messen Varianz und Standardabweichung?

Ein Mittelwert allein sagt wenig. Zwei Seminare können beide eine Durchschnittsnote von 2,0 haben: Im einen liegen alle zwischen 1,7 und 2,3, im anderen reicht die Spanne von 1,0 bis 4,0. Den Unterschied erfasst die Streuung.

Die Varianz (englisch variance) ist der Durchschnitt der quadrierten Abstände aller Werte vom Mittelwert. Die Standardabweichung (englisch standard deviation, kurz SD oder s) ist die Wurzel daraus. Durch das Wurzelziehen kehrt sie zur ursprünglichen Einheit zurück: Misst Du Punkte, ist die Standardabweichung ebenfalls in Punkten angegeben, die Varianz dagegen in „Punkten zum Quadrat“.

Die Formeln: Stichprobe und Grundgesamtheit

Es gibt zwei Varianten. Fast immer arbeitest Du mit einer Stichprobe und willst auf die Grundgesamtheit schließen. Dann gilt:

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) und s = √s²

Nur wenn Du wirklich alle Elemente der Grundgesamtheit erfasst hast, etwa alle 30 Teilnehmer eines Seminars und nur über dieses Seminar sprichst, teilst Du durch n:

σ² = Σ(xᵢ − μ)² / n

Statistikprogramme und unsere Rechner geben standardmäßig die Stichprobenvariante mit n − 1 aus. In Tabellenkalkulationen gibt es meist zwei Funktionen; achte darauf, die Stichprobenvariante zu wählen.

Symbol	Bedeutung
xᵢ	einzelner Messwert
x̄ (bzw. μ)	Mittelwert der Stichprobe (bzw. der Grundgesamtheit)
n	Anzahl der Werte
s² / s	Varianz / Standardabweichung der Stichprobe (Teiler n − 1)
σ² / σ	Varianz / Standardabweichung der Grundgesamtheit (Teiler n)

Rechenbeispiel Schritt für Schritt

Sechs Studenten erreichen in einem Übungsquiz folgende Punkte: 2, 4, 4, 5, 7, 8. Du gehst in vier Schritten vor: Mittelwert berechnen, Abweichungen bilden, quadrieren und summieren, durch n − 1 teilen und die Wurzel ziehen.

Wert xᵢ	Abweichung xᵢ − x̄	quadriert
2	−3	9
4	−1	1
4	−1	1
5	0	0
7	2	4
8	3	9
Summe 30	Summe 0	Summe 24

Warum durch n − 1 teilen?

Der Mittelwert einer Stichprobe liegt immer genau in der Mitte der eigenen Daten. Die Abstände zum Stichprobenmittelwert sind deshalb im Schnitt etwas kleiner als die Abstände zum (unbekannten) wahren Mittelwert der Grundgesamtheit. Teilst Du durch n, unterschätzt Du die Streuung systematisch.

Die Division durch n − 1 gleicht das aus (sogenannte Bessel-Korrektur). Anschaulich: Kennst Du den Mittelwert und n − 1 der Abweichungen, ist die letzte Abweichung festgelegt, weil alle Abweichungen zusammen null ergeben müssen. Es gibt also nur n − 1 frei variierende Werte, die Freiheitsgrade. Bei großen Stichproben wird der Unterschied winzig, bei kleinen ist er deutlich: Im Beispiel 2,19 statt 2,00.

Die Standardabweichung richtig deuten

Eine Standardabweichung ist nur im Verhältnis zur Skala sinnvoll zu bewerten. 2,19 Punkte sind viel bei einem Quiz mit 10 Punkten und wenig bei einer Klausur mit 100 Punkten. Drei Werkzeuge helfen beim Einordnen.

68-95-99,7-Regel: Bei Normalverteilung liegen etwa 68 % der Werte innerhalb von ± 1 SD um den Mittelwert, etwa 95 % innerhalb von ± 2 SD und 99,7 % innerhalb von ± 3 SD.
z-Wert: z = (x − x̄) / s sagt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Der Wert 8 im Beispiel hat z = (8 − 5) / 2,19 = 1,37.
Variationskoeffizient: VK = s / x̄ macht Streuungen bei verschiedenen Mittelwerten vergleichbar (nur bei Verhältnisskalen). Im Beispiel: 2,19 / 5 = 0,44, also 44 %.
Vergleich mit anderen Studien: Liegt Deine SD in einer ähnlichen Größenordnung wie in der Literatur, spricht das für plausible Daten.

Standardabweichung oder Standardfehler?

Diese beiden Werte werden oft verwechselt. Die Standardabweichung beschreibt, wie stark die einzelnen Personen streuen. Der Standardfehler des Mittelwerts (englisch standard error, SE) beschreibt, wie genau Dein Stichprobenmittelwert den wahren Mittelwert schätzt:

SE = s / √n

Mit wachsender Stichprobe bleibt die Standardabweichung ungefähr gleich, der Standardfehler sinkt. Der Standardfehler ist die Grundlage für Konfidenzintervalle und t-Tests.

Streuung berichten und typische Fehler

Im Text schreibst Du nach APA-Stil: „Die Befragten erreichten im Mittel 5,00 Punkte (*SD* = 2,19).“ In Tabellen stehen *M* und *SD* in nebeneinanderliegenden Spalten. Die Varianz berichtest Du in der Regel nicht, sie taucht nur in Testverfahren wie der Varianzanalyse auf.

Standardabweichung mit Teiler n berechnen, obwohl eine Stichprobe vorliegt
Standardfehler als Streuungsmaß berichten; er lässt die Daten künstlich homogen erscheinen
Standardabweichung bei stark schiefen Daten ohne Median und Quartilsabstand berichten
Varianz und Standardabweichung verwechseln, etwa „SD = 4,80“ statt „SD = 2,19“

Häufige Fragen

Was sagt die Standardabweichung aus?

Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Werte im Durchschnitt um den Mittelwert streuen, und zwar in der Einheit der Daten. Eine kleine SD bedeutet, dass die Werte eng beieinanderliegen.

Wann teile ich durch n und wann durch n − 1?

Durch n − 1, wenn Du aus einer Stichprobe auf eine Grundgesamtheit schließen willst, also fast immer. Durch n nur, wenn Du die komplette Grundgesamtheit vorliegen hast und nur diese beschreiben willst.

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Die Varianz hat eine quadrierte Einheit und ist schwer zu deuten, die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten.

Ist eine hohe Standardabweichung schlecht?

Nicht grundsätzlich. Eine hohe SD zeigt nur, dass sich die Personen stark unterscheiden. Für Gruppenvergleiche bedeutet hohe Streuung aber, dass Du größere Stichproben brauchst, um einen Unterschied nachzuweisen.

Quellen und weiterführende Literatur

Bortz, J., & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Springer.
Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden (5. Aufl.). Beltz.

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