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Normalverteilung prüfen: Histogramm, Q-Q-Plot, Shapiro-Wilk-Test

Fachlich verantwortet von Prof. Dr. Alexander Holtermann · Stand 16.10.2026 · 5 Min. Lesezeit

Prüfe die Normalverteilung grafisch mit Histogramm und Q-Q-Plot und ergänzend mit Schiefe, Kurtosis und dem Shapiro-Wilk-Test (p > 0,05 = unauffällig).

Das Wichtigste in Kürze

  • Viele Tests wie t-Test, ANOVA und Pearson-Korrelation setzen normalverteilte Daten oder Residuen voraus. Die Voraussetzung betrifft die Verteilung in der Grundgesamtheit, nicht jede einzelne Stichprobe.
  • Die wichtigsten Prüfwerkzeuge sind grafisch: Histogramm und Q-Q-Plot. Liegen die Punkte im Q-Q-Plot nahe der Diagonalen, ist die Verteilung annähernd normal.
  • Der Shapiro-Wilk-Test prüft die Nullhypothese „Die Daten sind normalverteilt“. Ein p-Wert über 0,05 spricht nicht gegen die Normalverteilung.
  • Bei großen Stichproben wird der Shapiro-Wilk-Test schon bei harmlosen Abweichungen signifikant, bei kleinen übersieht er deutliche. Verlass Dich nie auf ihn allein.
  • Dank des zentralen Grenzwertsatzes sind t-Test und ANOVA ab etwa 30 Personen je Gruppe robust gegen moderate Abweichungen.

Was ist eine Normalverteilung und warum ist sie wichtig?

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung, englisch normal distribution) ist eine symmetrische, glockenförmige Verteilung. Mittelwert, Median und Modus fallen zusammen, und die Häufigkeit nimmt zu beiden Seiten gleichmäßig ab. Viele Merkmale wie Körpergröße oder Messfehler sind annähernd normalverteilt.

Für Deine Auswertung ist sie wichtig, weil parametrische Tests wie t-Test, Varianzanalyse, Pearson-Korrelation und lineare Regression bei ihrer Herleitung eine Normalverteilung annehmen. Genau genommen geht es um die Verteilung der Werte innerhalb jeder Gruppe (beim t-Test) oder der Residuen (bei der Regression), nicht um die Verteilung aller Rohdaten zusammen.

Schritt 1: Histogramm ansehen

Erstelle für jede Gruppe ein Histogramm mit eingeblendeter Normalverteilungskurve. Achte auf drei Dinge: Ist die Verteilung eingipflig? Ist sie ungefähr symmetrisch? Gibt es einzelne Werte, die weit abseits liegen?

Bei kleinen Stichproben (unter 20) sind Histogramme wenig aussagekräftig, weil wenige Werte zufällig ungleich auf die Balken fallen. Ergänze sie dann durch einen Boxplot oder einen Q-Q-Plot.

Schritt 2: Q-Q-Plot lesen

Ein Q-Q-Plot (Quantil-Quantil-Diagramm) trägt die beobachteten Werte gegen die Werte ab, die bei perfekter Normalverteilung zu erwarten wären. Liegen alle Punkte nahe an der Diagonalen, passt die Normalverteilung. Typische Abweichungen erkennst Du an Mustern.

Muster im Q-Q-PlotBedeutung
Punkte liegen auf der Linieannähernd normalverteilt
Bogen nach oben (U-Form), rechtes Ende steigt steilrechtsschief, langer Ausläufer nach rechts
umgekehrter Bogen, linkes Ende fällt steillinksschief
S-Form, beide Enden weichen abzu breite oder zu schmale Ränder (Kurtosis)
einzelne Punkte weit wegAusreißer

Schritt 3: Schiefe und Kurtosis berechnen

Die Schiefe (englisch skewness) misst die Asymmetrie, die Kurtosis (Wölbung, Exzess) die Form der Ränder. Bei einer perfekten Normalverteilung sind beide 0 (bei der Kurtosis bezogen auf den sogenannten Exzess).

Für die Bewertung gibt es verschiedene Faustregeln. Streng ist: Schiefe und Kurtosis im Betrag unter 1. Großzügiger und für größere Stichproben verbreitet ist die Empfehlung von West, Finney und Curran (1995): Schiefe im Betrag unter 2, Kurtosis unter 7. Nenne in Deiner Arbeit, welche Regel Du verwendest.

Schritt 4: Shapiro-Wilk-Test durchführen

Der Shapiro-Wilk-Test (Shapiro & Wilk, 1965) ist der gebräuchlichste Test auf Normalverteilung. Er prüft die Nullhypothese, dass die Daten aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Die Teststatistik W liegt zwischen 0 und 1; je näher an 1, desto besser passt die Normalverteilung.

Achtung, die Logik ist umgekehrt wie bei den meisten Tests: Hier willst Du ein nicht signifikantes Ergebnis. Ist p > 0,05, gibt es keinen Hinweis auf eine Verletzung. Ist p ≤ 0,05, weicht die Verteilung signifikant ab. Alternativen sind der Kolmogorov-Smirnov-Test mit Lilliefors-Korrektur oder der Anderson-Darling-Test; Shapiro-Wilk hat bei kleinen und mittleren Stichproben die höchste Teststärke.

DatensatznWpEntscheidung
Lernstunden Klausurphase (21 … 27)100,98,963kein Hinweis auf Abweichung
Lernstunden pro Woche (4 … 28)80,66< ,001deutliche Abweichung

Der zentrale Grenzwertsatz: Warum große Stichproben helfen

Der zentrale Grenzwertsatz besagt: Die Verteilung von Stichprobenmittelwerten nähert sich mit wachsender Stichprobengröße einer Normalverteilung an, auch wenn die Einzelwerte selbst nicht normalverteilt sind. Weil t-Test und ANOVA mit Mittelwerten arbeiten, werden sie dadurch robust.

Als Faustregel gelten etwa 30 Personen je Gruppe. Bei stark schiefen Verteilungen oder deutlichen Ausreißern können auch mehr nötig sein. Gleichzeitig gilt: Je größer die Stichprobe, desto eher wird der Shapiro-Wilk-Test signifikant, obwohl die Abweichung für den t-Test gar keine Rolle mehr spielt. Bei großen Stichproben zählen deshalb Grafiken, Schiefe und Kurtosis mehr als der p-Wert des Normalverteilungstests.

Was tun, wenn die Daten nicht normalverteilt sind?

Eine verletzte Normalverteilung ist kein Grund zur Panik. Prüfe zuerst, ob Ausreißer die Ursache sind, etwa Tippfehler oder Personen, die den Fragebogen nicht ernsthaft ausgefüllt haben. Danach hast Du mehrere Optionen.

  • Großes n (ab etwa 30 je Gruppe): parametrischen Test trotzdem verwenden und auf den zentralen Grenzwertsatz verweisen
  • Kleines n oder starke Schiefe: nichtparametrischen Test wählen, etwa Mann-Whitney-U statt t-Test für unabhängige Gruppen, Wilcoxon-Test statt gepaartem t-Test, Spearman statt Pearson
  • Rechtsschiefe Daten wie Reaktionszeiten: Transformation erwägen (z. B. Logarithmus) und das Ergebnis auf der transformierten Skala deuten
  • Robuste Verfahren: Bootstrapping oder getrimmte Mittelwerte, wenn Deine Betreuung damit vertraut ist

Häufige Fragen

Wie prüfe ich, ob meine Daten normalverteilt sind?

Kombiniere Grafiken (Histogramm, Q-Q-Plot) mit Kennwerten (Schiefe, Kurtosis) und dem Shapiro-Wilk-Test. Prüfe bei Gruppenvergleichen jede Gruppe einzeln, bei Regressionen die Residuen.

Was bedeutet ein signifikanter Shapiro-Wilk-Test?

Bei p ≤ 0,05 weichen die Daten signifikant von einer Normalverteilung ab. Ob das für Deinen Test ein Problem ist, hängt von Stichprobengröße und Ausmaß der Abweichung ab.

Ab welcher Stichprobengröße ist die Normalverteilung egal?

Als Faustregel sind t-Test und ANOVA ab etwa 30 Personen je Gruppe robust gegen moderate Abweichungen, wegen des zentralen Grenzwertsatzes. Bei extremer Schiefe oder Ausreißern gilt das nur eingeschränkt.

Shapiro-Wilk oder Kolmogorov-Smirnov?

Shapiro-Wilk hat bei kleinen und mittleren Stichproben die größere Teststärke und ist heute der Standard. Der Kolmogorov-Smirnov-Test braucht für geschätzte Parameter die Lilliefors-Korrektur.

Müssen Likert-Daten normalverteilt sein?

Einzelne Likert-Items können gar nicht exakt normalverteilt sein, weil sie nur wenige Stufen haben. Für Skalenwerte aus mehreren Items prüfst Du die Verteilung wie bei jeder metrischen Variable.

Quellen und weiterführende Literatur

  • Shapiro, S. S., & Wilk, M. B. (1965). An analysis of variance test for normality (complete samples). Biometrika, 52(3/4), 591–611.
  • Bortz, J., & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Springer.
  • Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden (5. Aufl.). Beltz.

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