Chi-Quadrat-Test: Unabhängigkeit prüfen mit Kreuztabelle und Beispiel
Fachlich verantwortet von Prof. Dr. Alexander Holtermann · Stand 16.10.2026 · 5 Min. Lesezeit
Der Chi-Quadrat-Test prüft, ob zwei kategoriale Merkmale zusammenhängen. Er vergleicht beobachtete mit erwarteten Häufigkeiten einer Kreuztabelle.
Das Wichtigste in Kürze
- Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest prüft, ob zwei nominale oder ordinale Merkmale zusammenhängen, etwa Studienfach und Nebenjob.
- Er vergleicht die beobachteten Häufigkeiten mit den Häufigkeiten, die bei völliger Unabhängigkeit zu erwarten wären:
erwartet = Zeilensumme · Spaltensumme / N. - Voraussetzung: In mindestens 80 % der Zellen sind mindestens 5 Fälle zu erwarten, in keiner Zelle weniger als 1. Bei kleinen Vierfeldertafeln nimm den exakten Test nach Fisher.
- Die Freiheitsgrade sind (Zeilen − 1) · (Spalten − 1). Für eine 2 × 2-Tabelle ist df = 1, der kritische Wert bei α = 0,05 beträgt 3,84.
- Berichte immer eine Effektstärke: Cramérs V. Im Beispiel ergibt sich χ²(1, N = 100) = 9,09, p = ,003, V = ,30.
Wofür ist der Chi-Quadrat-Test da?
Viele Umfragefragen liefern Kategorien: Studienfach, Wohnform, „Arbeitest Du neben dem Studium?“. Für solche Daten kannst Du keine Mittelwerte vergleichen. Der Chi-Quadrat-Test (χ²-Test, englisch chi-square test) prüft stattdessen, ob die Verteilung eines Merkmals von einem anderen abhängt.
Die Nullhypothese lautet: Die beiden Merkmale sind unabhängig. Wäre das so, müsste der Anteil der Studenten mit Nebenjob in allen Studienfächern gleich sein. Je stärker die beobachteten Häufigkeiten von diesem Muster abweichen, desto größer wird χ².
Neben dem Unabhängigkeitstest gibt es den Anpassungstest (goodness of fit). Er prüft, ob die Verteilung eines einzelnen Merkmals einer erwarteten Verteilung entspricht, etwa ob sich die Befragten gleichmäßig auf vier Semestergruppen verteilen.
Schritt 1: Kreuztabelle aufstellen
Du befragst 50 Studenten der Psychologie und 50 der BWL, ob sie neben dem Studium arbeiten. Die Kreuztabelle (Kontingenztafel) zeigt die beobachteten Häufigkeiten mit Zeilen- und Spaltensummen.
| beobachtet | Nebenjob ja | Nebenjob nein | Summe |
|---|---|---|---|
| Psychologie | 30 | 20 | 50 |
| BWL | 15 | 35 | 50 |
| Summe | 45 | 55 | 100 |
Schritt 2: erwartete Häufigkeiten berechnen
Wären Studienfach und Nebenjob unabhängig, müsste in beiden Fächern derselbe Anteil arbeiten, nämlich der Gesamtanteil 45 / 100 = 45 %. Die erwartete Häufigkeit jeder Zelle ist:
e = Zeilensumme · Spaltensumme / N
Für Psychologie und Nebenjob ja: 50 · 45 / 100 = 22,5. Entsprechend ergeben sich die anderen Zellen.
| erwartet | Nebenjob ja | Nebenjob nein | Summe |
|---|---|---|---|
| Psychologie | 22,5 | 27,5 | 50 |
| BWL | 22,5 | 27,5 | 50 |
| Summe | 45 | 55 | 100 |
Schritt 3: Chi-Quadrat berechnen und entscheiden
Für jede Zelle berechnest Du die quadrierte Abweichung zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit, geteilt durch die erwartete Häufigkeit, und summierst alles auf:
χ² = Σ (b − e)² / e
Die Freiheitsgrade sind df = (Zeilen − 1) · (Spalten − 1), hier (2 − 1) · (2 − 1) = 1.
| Zelle | b | e | (b − e)² / e |
|---|---|---|---|
| Psychologie, ja | 30 | 22,5 | 56,25 / 22,5 = 2,50 |
| Psychologie, nein | 20 | 27,5 | 56,25 / 27,5 = 2,05 |
| BWL, ja | 15 | 22,5 | 56,25 / 22,5 = 2,50 |
| BWL, nein | 35 | 27,5 | 56,25 / 27,5 = 2,05 |
| Summe | χ² = 9,09 |
Voraussetzungen und Alternativen
Der Chi-Quadrat-Test ist eine Näherung, die nur bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten gut funktioniert.
- Unabhängige Beobachtungen: Jede Person taucht genau einmal in der Tabelle auf. Für Vorher-nachher-Vergleiche bei Ja/Nein-Daten nimmst Du den McNemar-Test.
- Erwartete Häufigkeiten: in mindestens 80 % der Zellen ≥ 5 und in keiner Zelle < 1. Prüfe die erwarteten, nicht die beobachteten Werte.
- Absolute Häufigkeiten: Der Test rechnet mit Anzahlen, niemals mit Prozentwerten.
- Zu kleine Zellen: Kategorien sinnvoll zusammenfassen oder bei 2 × 2-Tabellen den exakten Test nach Fisher verwenden.
- Kontinuitätskorrektur nach Yates: Bei 2 × 2-Tabellen geben manche Programme zusätzlich einen korrigierten Wert aus (hier χ² = 7,92, p = ,005). Die Korrektur gilt heute oft als zu konservativ; nenne, welche Variante Du berichtest.
Effektstärke: Cramérs V und Phi
χ² wächst mit der Stichprobengröße und sagt daher wenig über die Stärke des Zusammenhangs. Dafür gibt es Cramérs V:
V = √(χ² / (N · (k − 1))) mit k = kleinere Zahl aus Zeilen und Spalten.
V liegt zwischen 0 (kein Zusammenhang) und 1 (perfekter Zusammenhang). Bei einer 2 × 2-Tabelle entspricht V dem Betrag des Phi-Koeffizienten. Nach Cohen (1988) gelten bei df* = 1 die Grenzen 0,10 (klein), 0,30 (mittel) und 0,50 (groß).
Chi-Quadrat-Test nach APA berichten
Nenne die Freiheitsgrade und die Stichprobengröße in Klammern, dann den χ²-Wert, den p-Wert und Cramérs V. Ergänze die Prozentwerte, damit Leser die Richtung des Zusammenhangs erkennen. Bei größeren Tabellen gehört die Kreuztabelle mit Anzahlen und Prozenten in den Ergebnisteil.
Häufige Fragen
Wann verwende ich den Chi-Quadrat-Test?
Wenn Du prüfen willst, ob zwei kategoriale Merkmale zusammenhängen, etwa Studienfach und Wohnform, und Deine Daten als Häufigkeiten in einer Kreuztabelle vorliegen.
Was mache ich, wenn erwartete Häufigkeiten unter 5 liegen?
Fasse Kategorien sinnvoll zusammen oder verwende bei 2 × 2-Tabellen den exakten Test nach Fisher. Bei größeren Tabellen bieten viele Programme ebenfalls exakte oder simulierte p-Werte an.
Wie berechne ich die Freiheitsgrade beim Chi-Quadrat-Test?
Beim Unabhängigkeitstest gilt df = (Anzahl Zeilen − 1) · (Anzahl Spalten − 1). Eine 3 × 4-Tabelle hat also df = 2 · 3 = 6.
Sagt der Chi-Quadrat-Test etwas über Ursache und Wirkung?
Nein. Er zeigt nur einen statistischen Zusammenhang. Ob ein Merkmal das andere beeinflusst, muss das Studiendesign begründen.
Wie rechne ich den Chi-Quadrat-Test in SPSS, R oder Excel?
In SPSS über Analysieren → Deskriptive Statistiken → Kreuztabellen, dort unter Statistiken Chi-Quadrat sowie Phi und Cramer-V ankreuzen. In R mit chisq.test(table(x, y)). In JASP über Frequencies → Contingency Tables. Excel liefert mit CHIQU.TEST nur den p-Wert und braucht die erwarteten Häufigkeiten.
Quellen und weiterführende Literatur
- Bortz, J., & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Springer.
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2. Aufl.). Lawrence Erlbaum.
- Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden (5. Aufl.). Beltz.
Was an Deiner Hochschule gilt, steht in Prüfungsordnung und Leitfaden Deines Fachs — die haben immer Vorrang.
Passt dazu
- EffektstärkeDie Effektstärke zeigt, wie groß ein Unterschied oder Zusammenhang ist. Nach Cohen gilt d = 0,2 als klein, 0,5 als mittel und 0,8 als groß.
- SkalenniveausDas Skalenniveau sagt, was Deine Zahlen bedeuten: nominal (Kategorien), ordinal (Rangfolge), intervall (gleiche Abstände) oder verhältnis (echter Nullpunkt).
- Welcher Test passt?Der passende Test hängt von vier Fragen ab: Unterschied oder Zusammenhang, Skalenniveau, Zahl und Art der Gruppen sowie Verteilung der Daten.
- KorrelationEine Korrelation misst Stärke und Richtung eines Zusammenhangs zwischen −1 und +1. Pearson für metrische, Spearman für ordinale oder schiefe Daten.
- Ergebnisse nach APA berichtenNach APA 7 nennst Du Teststatistik mit Freiheitsgraden, exakten p-Wert und Effektstärke, etwa t(14) = 3,42, p = ,004, d = 1,71. Statistiksymbole kursiv.
- Statistikprogramme im VergleichSPSS ist an Hochschulen am verbreitetsten, R am mächtigsten, JASP und jamovi kostenlos und einsteigerfreundlich. Excel reicht nur für einfache Auswertungen.
