Lineare Regression: einfach und multipel, Koeffizienten und R² deuten
Fachlich verantwortet von Prof. Dr. Alexander Holtermann · Stand 16.10.2026 · 5 Min. Lesezeit
Die lineare Regression sagt eine metrische Variable aus einem oder mehreren Prädiktoren vorher. b zeigt den Einfluss je Einheit, R² die erklärte Varianz.
Das Wichtigste in Kürze
- Die einfache lineare Regression legt eine Gerade
ŷ = a + b · xdurch die Datenpunkte. a ist der Achsenabschnitt, b die Steigung. - Der Koeffizient b sagt: Steigt x um eine Einheit, verändert sich die vorhergesagte abhängige Variable um b Einheiten.
- R² gibt den Anteil der Varianz der abhängigen Variable an, der durch das Modell erklärt wird. In der multiplen Regression ist das korrigierte R² aussagekräftiger.
- Die multiple Regression schätzt den Einfluss jedes Prädiktors, während die anderen konstant gehalten werden. Standardisierte β-Gewichte machen Prädiktoren vergleichbar.
- Voraussetzungen: Linearität, unabhängige und normalverteilte Residuen, Homoskedastizität und keine starke Multikollinearität.
Was macht eine Regression?
Die Korrelation sagt, ob zwei Variablen zusammenhängen. Die Regression (englisch linear regression) beschreibt, wie: Sie schätzt eine Gleichung, mit der Du eine abhängige Variable (Kriterium, y) aus einer oder mehreren unabhängigen Variablen (Prädiktoren, x) vorhersagen kannst.
Die Gerade wird nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt: Sie liegt so, dass die Summe der quadrierten Abstände zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten (die Residuen) minimal ist. Damit kannst Du Fragen beantworten wie: „Um wie viele Punkte steigt das Testergebnis im Mittel pro zusätzlicher Lernstunde?“
Einfache lineare Regression: die Formeln
Bei einem Prädiktor lautet das Modell ŷ = a + b · x. Die Steigung und der Achsenabschnitt ergeben sich aus:
b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)² und a = ȳ − b · x̄
Die Steigung hängt eng mit der Korrelation zusammen: b = r · s_y / s_x. In der einfachen Regression ist R² genau das Quadrat der Pearson-Korrelation.
| Kennwert | Bedeutung |
|---|---|
| a (Konstante, intercept) | vorhergesagter Wert von y, wenn x = 0 |
| b (Regressionskoeffizient, slope) | Änderung von ŷ pro Einheit x |
| β (standardisiert) | Änderung in Standardabweichungen; vergleichbar zwischen Prädiktoren |
| R² (Bestimmtheitsmaß) | Anteil erklärter Varianz von y, zwischen 0 und 1 |
| Standardschätzfehler | typische Abweichung der Beobachtungen von der Geraden |
Rechenbeispiel: Lernstunden sagen Punkte vorher
Du nutzt die Daten von acht Studenten: Stunden 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12 und Punkte 12, 10, 16, 13, 15, 21, 17, 22. Die Mittelwerte sind x̄ = 7,125 und ȳ = 15,75. Die Summe der Abweichungsprodukte beträgt 84,25, die Summe der quadrierten Abweichungen von x 84,875.
| Schritt | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Steigung b | 84,25 / 84,875 | 0,99 |
| Achsenabschnitt a | 15,75 − 0,9926 · 7,125 | 8,68 |
| Regressionsgleichung | ŷ = 8,68 + 0,99 · Stunden | |
| Standardfehler von b | 0,28 | |
| t-Wert für b (df = 6) | 0,99 / 0,28 | 3,55, p = ,012 |
| R² / korrigiertes R² | 0,82² bzw. Korrektur | ,68 / ,62 |
Multiple Regression: mehrere Prädiktoren
In der Realität hängt ein Ergebnis selten nur an einer Variable. Die multiple Regression nimmt mehrere Prädiktoren auf: ŷ = b₀ + b₁ · x₁ + b₂ · x₂ + …. Jeder Koeffizient zeigt den Effekt seines Prädiktors unter Kontrolle der anderen, also bei konstant gehaltenen übrigen Variablen.
Im Beispiel nimmst Du zusätzlich das Vorwissen auf, gemessen auf einer Skala von 1 bis 5 (Werte: 2, 3, 3, 1, 4, 4, 2, 5).
| Prädiktor | b | SE | β | t(5) | p |
|---|---|---|---|---|---|
| Konstante | 7,00 | 2,51 | 2,79 | ,039 | |
| Lernstunden | 0,80 | 0,31 | ,66 | 2,58 | ,049 |
| Vorwissen | 1,01 | 0,83 | ,32 | 1,23 | ,274 |
R² und korrigiertes R² richtig lesen
R² steigt mit jedem zusätzlichen Prädiktor, auch wenn dieser nur Zufallsrauschen erklärt. Deshalb gibt es das korrigierte R² (adjusted R²), das für die Zahl der Prädiktoren k und die Stichprobengröße n bestraft: R²_korr = 1 − (1 − R²) · (n − 1) / (n − k − 1). Im Beispiel: 1 − 0,248 · 7 / 5 = ,65.
Was ein „gutes“ R² ist, hängt vom Fach ab. In den Sozialwissenschaften sind Werte um ,10 bis ,30 bei menschlichem Verhalten üblich, in technischen Messungen erwartet man oft über ,90. Nach Cohen (1988) entspricht ein R² von ,02 einem kleinen, ,13 einem mittleren und ,26 einem großen Effekt (über f² = R² / (1 − R²) mit 0,02, 0,15 und 0,35).
Voraussetzungen der linearen Regression
Die meisten Voraussetzungen betreffen die Residuen, nicht die Rohdaten. Prüfe sie grafisch mit einem Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten Werte und einem Q-Q-Plot der Residuen.
- Linearität: Der Zusammenhang zwischen Prädiktoren und Kriterium ist linear; im Residuenplot zeigt sich kein Bogen.
- Unabhängigkeit der Residuen: Keine wiederholten Messungen derselben Personen ohne passendes Modell; bei Zeitreihen hilft der Durbin-Watson-Test.
- Homoskedastizität: Die Residuen streuen über alle vorhergesagten Werte gleich stark, ohne Trichterform.
- Normalverteilung der Residuen: für Tests und Konfidenzintervalle; bei großen Stichproben weniger kritisch.
- Keine Multikollinearität: Prädiktoren korrelieren nicht zu hoch miteinander. Faustregel: VIF unter 10, besser unter 5.
- Keine einflussreichen Ausreißer: Prüfe Cook-Distanzen; einzelne Fälle dürfen die Gerade nicht allein bestimmen.
Regression nach APA berichten
Berichte das Gesamtmodell (R², korrigiertes R², F-Test) und eine Tabelle mit b, Standardfehler, β, t und p für jeden Prädiktor. Bei hierarchischen Modellen gibst Du zusätzlich die Änderung ΔR² zwischen den Schritten an.
Umsetzung in SPSS, R, JASP und Excel
In SPSS rechnest Du die Regression über Analysieren → Regression → Linear. Unter Statistiken wählst Du Konfidenzintervalle und Kollinearitätsdiagnose, unter Diagramme Residuenplots zur Prüfung der Voraussetzungen. In R schreibst Du modell <- lm(punkte ~ lernstunden + motivation, data = daten) und summary(modell). In JASP und jamovi heißt der Weg Regression → Linear Regression. Excel bietet eine Regression über die Analyse-Funktionen (Add-In), aber kaum Diagnostik; für eine Abschlussarbeit sind die anderen Programme besser.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Korrelation und Regression?
Die Korrelation misst Stärke und Richtung eines Zusammenhangs symmetrisch. Die Regression unterscheidet zwischen Prädiktor und Kriterium und liefert eine Gleichung zur Vorhersage.
Wie interpretiere ich den Regressionskoeffizienten b?
Steigt der Prädiktor um eine Einheit, verändert sich der vorhergesagte Wert der abhängigen Variable um b Einheiten, bei der multiplen Regression unter Konstanthaltung der anderen Prädiktoren.
Was ist ein gutes R²?
Das hängt vom Fach ab. In den Sozialwissenschaften sind ,10 bis ,30 häufig, in Naturwissenschaften und Technik oft deutlich mehr. Nach Cohen gilt ,26 als großer Effekt.
Kann ich kategoriale Prädiktoren verwenden?
Ja, über Dummy-Codierung: Eine Variable mit k Kategorien wird in k − 1 Variablen mit 0 und 1 übersetzt. Die Referenzkategorie bekommt überall 0.
Wie viele Fälle brauche ich für eine multiple Regression?
Eine verbreitete Faustregel lautet 50 + 8 · k Fälle für den Test des Gesamtmodells, bei k Prädiktoren. Genauer ist eine Power-Analyse mit der erwarteten Effektstärke f².
Quellen und weiterführende Literatur
- Bortz, J., & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Springer.
- Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden (5. Aufl.). Beltz.
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2. Aufl.). Lawrence Erlbaum.
Was an Deiner Hochschule gilt, steht in Prüfungsordnung und Leitfaden Deines Fachs — die haben immer Vorrang.
Passt dazu
- KorrelationEine Korrelation misst Stärke und Richtung eines Zusammenhangs zwischen −1 und +1. Pearson für metrische, Spearman für ordinale oder schiefe Daten.
- EffektstärkeDie Effektstärke zeigt, wie groß ein Unterschied oder Zusammenhang ist. Nach Cohen gilt d = 0,2 als klein, 0,5 als mittel und 0,8 als groß.
- Normalverteilung prüfenPrüfe die Normalverteilung grafisch mit Histogramm und Q-Q-Plot und ergänzend mit Schiefe, Kurtosis und dem Shapiro-Wilk-Test (p > 0,05 = unauffällig).
- Welcher Test passt?Der passende Test hängt von vier Fragen ab: Unterschied oder Zusammenhang, Skalenniveau, Zahl und Art der Gruppen sowie Verteilung der Daten.
- Ergebnisse nach APA berichtenNach APA 7 nennst Du Teststatistik mit Freiheitsgraden, exakten p-Wert und Effektstärke, etwa t(14) = 3,42, p = ,004, d = 1,71. Statistiksymbole kursiv.
- Statistikprogramme im VergleichSPSS ist an Hochschulen am verbreitetsten, R am mächtigsten, JASP und jamovi kostenlos und einsteigerfreundlich. Excel reicht nur für einfache Auswertungen.
